Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение
Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение

1 ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Томский политехнический университет» В. П. Нестеренко, А. И. Зитов, С. Л. Катанухина, Н. А. Куприянов, В. В. Дробчик ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Учебное пособие Издание третье, переработанное и дополненное Издательство ТПУ Томск 007

2 УДК Н56 В. П. Нестеренко, А. И. Зитов, С. Л. Катанухина, Н. А. Куприянов, В. В. Дробчик. Техническая механика: Учебное пособие. Томск: Издво ТПУ, с. Учебное пособие включает основные сведения из таких дисциплин, как теоретическая механика, сопротивление материалов и детали машин в соответствии с государственными образовательными стандартами. Приведены примеры решения типовых задач по всем разделам. Пособие подготовлено на кафедре теоретической и прикладной механики ТПУ и предназначено для студентов вузов инженерно-экономических факультетов дневной и заочной форм обучения. Рекомендовано к печати Редакционно-издательским советом Томского политехнического университета. Рецензенты Т. А. Ковалевская доктор физико-математических наук, профессор Томского архитектурно-строительного университета; В. А. Штанько кандидат физико-математических наук, доцент Томского государственного университета. Томский политехнический университет, 007

3 ВВЕДЕНИЕ Механика наряду с математикой и физикой имеет большое общеобразовательное значение: способствует развитию логического мышления, приводит к пониманию весьма широкого круга явлений, относящихся к простейшей форме движущейся материи механическому движению. Дисциплина "Техническая механика" является базой для создания надежных и экономичных конструкций, как на стадии проектирования, так и при изготовлении и эксплуатации. К основным задачам этого предмета относится изучение: общих законов равновесия материальных тел; методов расчета элементов конструкций и машин на прочность, жесткость и устойчивость; законов движения материальных тел; устройства машин и механизмов, их деталей и области их применения. Учебное пособие состоит из пяти разделов, включающих основы теоретической механики, сопротивления материалов, теории механизмов и машин, деталей машин. Изучение методов и приемов технической механики вырабатывает навыки для постановки и решения прикладных задач. На базе минимального количества материала обучаемому сообщаются такие знания, которые позволят ему в дальнейшем всю необходимую информацию находить и усваивать самостоятельно. Овладение основами технической механики позволят специалистам инженерно-экономических направлений грамотно проводить технико-экономическую экспертизу проектов. Для изучения курса нужно иметь соответствующую математическую подготовку. Необходимо использовать положения и методы векторной алгебры, уметь дифференцировать функции одной переменной, знать основы теории кривых второго порядка, находить интегралы от простейших функций, решать дифференциальные уравнения. В учебном пособии приведены примеры решения типовых задач по всем разделам. Решения задач сопровождаются рядом указаний, которые должны помочь студенту при самостоятельном изучении материала. Учебное пособие будет полезным студентам немеханических специальностей, особенно студентам заочного отделения. 3

4 1. СТАТИКА 1.1. Основные понятия и аксиомы статики Одним из основных понятий механики является сила. Сила есть мера механического взаимодействия тел. Она является векторной величиной и характеризуется численным значением (или модулем), точкой приложения и направлением (рис. 1.1). Условные обозначения: F сила (вектор), F модуль силы. Точка приложения силы и ее направление определяют линию CD действия силы. В международной системе единиц измерения физических величин (СИ) за единицу силы принят один Ньютон [1Н]. Аналитически силу можно задать с помощью еѐ проекций на оси прямоугольной системы координат (рис. 1.): F ifx jfy kfz. Здесь Fx, Fy, Fz проекции силы на соответствующие оси; i, j, k единичные векторы. Модуль F силы определяется как 4 x y z. F F F F В теоретической механике рассматриваются абсолютно твѐрдые тела. Это такие тела, в которых расстояние между двумя любыми точками не изменяется при действии сил. В аксиомах статики формулируются законы, которым подчиняются силы, действующие на одно тело или приложенные к взаимодействующим телам. Основными задачами статики абсолютно твѐрдого тела являются: задача о приведении системы сил как данную систему сил заменить другой, чаще всего наиболее простой, ей эквивалентной; задача о равновесии каким условиям должна удовлетворять система сил, приложенная к телу, чтобы она была уравновешенной системой. Уравновешенной системой сил, или системой сил, эквива-

5 лентной нулю, называется такая система сил, при действии которой на абсолютно твѐрдое тело оно находится в покое. Указанные задачи и позволяют решать аксиомы статики. Аксиома 1. Две силы, приложенные к твѐрдому телу, взаимно уравновешиваются в том случае, если их модули равны, а они направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.3): F1 F. Система сил ( F1, F ) эквивалентна нулю, то есть ( F1, F ) 0. Аксиома. Действие системы сил на твѐрдое тело не изменится, если к ней присоединить или исключить систему взаимно уравновешивающихся сил. Следствие. Точку приложения силы можно переносить вдоль линии действия. Докажем это. Пусть сила F 1 приложена в точке А (рис. 1.4). Приложим в точке В по линии действия силы F 1 две уравновешенные силы F и F 3, причѐм сила F1 F3. Имеем F ( F, F, F ) Так как силы F 1 и F образуют уравновешенную систему сил, то, согласно аксиоме, их можно отбросить. Остаѐтся сила F 3, равная силе F 1, но приложенная в точке В, то есть силу F 1 перенесли вдоль еѐ линии действия. Ещѐ раз отмечаем, что обе аксиомы и следствие относятся только к абсолютно твѐрдым телам. Аксиома 3. Равнодействующая двух пересекающихся сил, действующих на тело, приложена в точке их пересечения и изображается диагональю параллелограмма, построенного на этих силах (рис. 1.5). Равнодействующая R равна геометрической сумме сил F 1, F, то есть R F 1 F, а еѐ модуль определяется как R F F F F cosα. (1.1) 1 1

6 Аксиома 4 (3-й закон Ньютона). Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.6). Если тело I действует на тело II с силой F, а тело II действует на тело I c силой F 1, то эти силы равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны, то есть F1 F, F1 F. Аксиома 5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если жестко связать его точки и считать тело абсолютно твѐрдым. 1.. Активные силы и реакции связей Все тела делятся на свободные и несвободные. Тело свободное, если его перемещения в пространстве ничем не ограничены. Тело, перемещения которого ограничены другими телами, называется несвободным, а тела, ограничивающие перемещения рассматриваемого тела, являются связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей. В механике пользуются принципом освобождаемости от связей: всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если действие связей заменить силами реакциями. Направление реакций определяется свойством связей и действующими силами. Рассмотрим некоторые виды связей. Гибкая нерастяжимая нить (рис. 1.7). Реакция направлена вдоль нити по направлению к точке подвеса. Допускается реакцию изображать и на самой связи. Невесомый стержень, шарнирно закреплѐнный по концам (рис. 1.8). Согласно аксиоме 4 сила противодействия стержня (реакция) R должна быть направлена вдоль оси стержня АВ. В случае криволинейного стержня по прямой, соединяющей концы стержня. Если тело опирается на идеально гладкую поверхность (без трения), то реакция N направлена по общей нормали к соприкасаю- 6

7 щимся поверхностям (рис. 1.9). Здесь тело может свободно скользить вдоль поверхности, но не может перемещаться в направлении вдоль нормали к поверхности. К аналогичному виду связи относится и соприкосновение балки с идеально гладкими поверхностями (рис. 1.10). Цилиндрическая шарнирно-подвижная опора, ее условное обозначение представлено на рис Реакция N направлена по нормали к опорной поверхности. Во всех рассмотренных видах связей направление реакций заведомо известно. Цилиндрическая шарнирно-неподвижная опора (рис. 1.1) не позволяет телу совершать поступательное движение в двух взаимно перпендикулярных направлениях. В общем случае направление реакции неизвестно и определяется действующими силами. Для удобства решения практических задач реакцию изображают в виде двух составляющих, направленных по перпендикулярным друг к другу осям, при этом R X A Y A, а модуль R A A A X Y. Все силы, действующие на несвободное тело, можно разделить на две категории. Одну категорию составляют силы, не зависящие от связей, и их называют активными силами, другую категорию реакциями связей. Реакции связей носят пассивный характер, они возникают, если действуют активные силы. Поэтому реакции связей ещѐ называют пассивными силами. 7

8 1.3. Система сходящихся сил Приведение и условия равновесия. Силы называются сходящимися, если линии действия всех сил, составляющих систему, пересекаются в одной точке. Докажем теорему: система сходящихся сил приводится к одной силе (равнодействующей), которая равна геометрической сумме всех этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия. Пусть задана система сходящихся сил F 1, F,, F n, приложенных к абсолютно твѐрдому телу (рис.1.13). Перенесѐм точки приложения всех сил по их линиям действия в точку пересечения O. На основании аксиомы 3 складываем силы F 1 и F, получаем их равнодействующую R F1 F. Затем, складывая R с силой F 3, найдѐм R R F F F F Таким образом, дойдѐм до последней силы F n, получив равнодействующую R всей системы n сил: R F F F F. (1.) 1 Этим соотношением и доказывается справедливость сформулированной теоремы. n n k 1 k 8

9 Вместо параллелограммов можно строить силовые многоугольники. Пусть система состоит из трѐх сил F 1, F, F 3 (рис. 1.14). Изображаем вектор F 1. К концу вектора F 1 прикладываем начало вектора силы F. Вектор, соединяющий точку O и конец вектора F, будет вектор R. Далее, аналогично отложим вектор силы F 3, получим равнодействующую R 3. Полученный многоугольник может быть плоским и пространственным в зависимости от расположения сил рассматриваемой системы; он называется силовым многоугольником. Наиболее общим способом определения модуля и направления равнодействующей является аналитический способ. Поместив начало прямоугольной системы координат в точку О (рис. 1.13), равнодействующую R, как и любую силу, можно представить как R irx jry krz, где R x, R y, R z проекции равнодействующей. Используя выражение (1.), получаем: n Rx Fkx F1x Fx Fnx ; k 1 n Ry Fky F1y Fy Fny ; (1.3) k 1 n Rz Fkz F1z Fz Fnz. k 1 Таким образом, проекции равнодействующей системы сходящихся сил на координатные оси равны алгебраическим суммам проекций этих сил на соответствующие оси. Модуль равнодействующей равен 9

10 n n n x y z kx ky kz k 1 k 1 k 1 R R R R ( F ) ( F ) ( F ). (1.4) Система сходящихся сил, как было доказано, приводится к одной силе равнодействующей R F1 F F, n следовательно, для равновесия тела, находящегося под действием системы сходящихся сил, необходимо и достаточно, чтобы их равнодействующая равнялась нулю, то есть R 0. (1.5) Учитывая (1.3), получаем аналитические условия равновесия: n Fkx F1x Fx Fnx 0; k 1 n Fky F1y Fy Fny 0; (1.6) k 1 n Fkz F1z Fz Fnz 0, k 1 то есть для равновесия сходящейся системы сил необходимо и достаточно равенство нулю алгебраических сумм проекций всех сил системы на каждую из координатных осей. Условия равновесия (1.6) позволяют проконтролировать, находится ли в равновесии заданная система сил. Практическое значение имеет другая возможность использования этих условий, а именно для определения реакций связей, когда активные силы известны. Число неизвестных должно быть не больше числа уравнений. В случае равновесия системы сходящихся сил силовой многоугольник должен быть замкнутым. Пример. На рис изображена часть крана, состоящая из стрелы АС, троса АВ и подвешенного груза D. Пренебрегая весом троса и стрелы, определить натяжение троса 10

11 T и усилие в стреле S, если известно, что угол 60, угол 15, а масса груза m = 6 т. Рассмотрим равновесие стрелы. В точке А к ней приложена активная сила P сила тяжести груза (см. рис. 1.15,б). В той же точке к ней приложена реакция Т троса, и в точке С приложена реакция опоры S, направленная вдоль стрелы, так как весом стрелы пренебрегаем. Начало реакции S перенесем в точку A, получаем сходящуюся систему сил. Для определения реакций применяем вначале аналитический способ. Для этого берѐм систему координат и составляем уравнения равновесия отсюда n k 1 n k 1 F S sin 60 T cos15 0; kx F S cos60 P T sin15 0; ky cos15 S P 1,54 кн; cos75 sin 60 T P 199,85 кн. cos75 Применим геометрический способ. Система трѐх указанных сил находится в равновесии, следовательно, силовой многоугольник должен быть замкнутым. Построение многоугольника следует начинать с известной силы P (рис. 1.16). Из еѐ начала проводится прямая, параллельная линии действия силы T, а из ее конца прямая, параллельная линии действия силы S. Точка пересечения и определяет силы S и T. Для определения величины S и T применяем теорему синусов: sin105 mg sin105 S P 1,54 кн; sin15 sin15 sin 60 mg sin 60 T P 199,85 кн. sin15 sin15 11

12 При использовании аналитического способа для определения реакций связей может получиться знак минус у реакций, это говорит о том, что реакция в действительности направлена в противоположную сторону Момент силы относительно точки Моментом силы относительно точки (центра) называется вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, то есть на кратчайшее расстояние от точки до линии действия силы, и направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через выбранную точку и линию действия силы в ту сторону, откуда вращение, совершаемое силой, представляется происходящим против хода часовой стрелки. Момент силы характеризует еѐ вращательное действие. Момент силы относительно точки обозначается символом M 0( F ), здесь О точка, относительно которой определяется момент (рис. 1.17). Согласно определению модуль момента M ( ) O F F h, (1.7) где h плечо. Докажем, что если точка A приложения силы определяется радиусом-вектором r, то справедливо соотношение M ( ) O F r F, (1.8) то есть момент силы относительно точки определяется как векторное произведение радиуса-вектора r на вектор силы F. Модуль векторного произведения r F rf sinα Fh, так как h r sin. Следовательно, модуль указанного векторного произведения совпадает с модулем момента MO( F ). Вектор векторного произведения r F направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы r и F, в ту сторону, откуда кратчайший поворот вектора r к вектору F представляется происходящим против хода часовой стрелки. Итак, вектор момента силы относительно точки 1

13 M 0( F ) совпадает по направлению с вектором векторного произведения r F. Таким образом, формула (1.8) полностью определяет модуль и направление момента силы F относительно точки О. На рис приведены случаи определения плеча h. Для наглядности на рис изображены параллелепипеды, по граням которых направлены силы, показаны направления моментов сил и определены их модули: M ( ) O F a F ; MO( F) a F Момент силы относительно оси Если момент силы относительно точки векторная величина, то момент силы относительно оси алгебраическая величина. Определим момент силы F относительно оси z, для чего силу F (см. рис. 1.0) спроецируем на плоскость, перпендикулярную оси, в нашем случае на плоскость Oxy. 13

14 Проекцию силы F на плоскость Oxy обозначим F xy, она также векторная величина. Момент силы F относительно оси z, с учѐтом формулы (1.7), определяется так: M z ( F) M ( F ) F h, (1.9) Oz xy где h плечо силы F xy относительно точки O, F xy модуль проекции силы F на плоскость Oxy, знак «плюс» в формуле (1.9) берѐтся в том случае, когда сила F xy создает вращение вокруг оси z против хода часовой стрелки, знак «минус» по ходу. Формула (1.9) позволяет вычислить момент силы относительно оси. Для чего необходимо: 1) выбрать на оси произвольную точку и построить плоскость, перпендикулярную оси; ) спроецировать на эту плоскость силу; 3) определить плечо h проекции силы. Момент силы относительно оси равен произведению модуля проекции силы на плоскость на еѐ плечо, взятое с соответствующим знаком. Из формулы (1.9) следует, что момент силы относительно оси равен нулю в двух случаях: 1) когда проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю, то есть когда линия действия силы и ось параллельны; ) когда плечо h проекции силы равно нулю, то есть когда линия действия силы пересекает ось. Оба эти случая можно объединить: Момент силы относительно оси равен нулю тогда, когда линия действия силы и ось находятся в одной плоскости. Определим моменты силы относительно координатных осей (рис. 1.1), данные приведены на рисунке: ( F) F sin b ; M x M y( F) F h; M z xy ( F) F cos b. 14

15 1.6. Момент пары сил Парой сил называются две параллельные силы, равные по модулю, но противоположные по направлению (рис. 1.). Пара сил обозначается ( F, F '). F F ', F1 F1 ' F F, F F ' 1 1 Введѐм понятие момента пары сил. Вначале определим сумму моментов сил F и F ', составляющих пару, относительно произвольной точки О (рис. 1.3.): M ( F) OA F; M ( F ) OB F ; 0 0 M0( F) M0( F ) OA F OB F, так как F' F, то M ( F) M ( F ) OA F OB F ( OA OB) F ; 0 0 учитывая, что OA OB BA, получаем M0( F) M0( F ) BA F. (1.10) В правую часть полученного выражения не входит точка О, следовательно, сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой вычисляются моменты сил. Векторное произведение BA F и называется моментом пары ( F, F '). На основании этого даѐм определение момента пары: Момент пары есть вектор, по модулю равный произведению модуля одной из сил на плечо пары, то есть на кратчайшее расстояние между линиями действия сил, составляющих пару, и направленный перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда вращение пары видно происходящим против хода часовой стрелки. 15

16 Итак, момент пары ( F, F '), M0( F, F) BA F, а его модуль M0 ( F, F') F h, где h плечо пары. Для наглядности на рис. 1.4 приведены два случая направления моментов пар: Момент пары представляет свободный вектор, линия действия его не определена. Для того чтобы пара сил составляла уравновешенную систему, необходимо и достаточно, чтобы момент пары равнялся нулю. Действительно, если момент пары равен нулю, M F h 0, то либо F = 0, то есть нет сил, либо плечо пары h равно нулю. Если h = 0, то силы действуют по одной прямой и так как они равны по модулю и направлены в противоположные стороны, то на основании аксиомы 1 они составляют уравновешенную систему сил. Момент пары полностью определяет механическое действие пары на абсолютно твѐрдое тело. Система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар. Система пар эквивалентна нулю, если момент результирующей пары равен нулю Приведение и равновесие пространственной системы сил Дана произвольная пространственная система сил ( F1, F,, Fn ). Сумму этих сил F n F k k 1 называют главным вектором системы сил. Сумму моментов сил относительно какого-либо центра n M M ( F ) O O k k 1 16

17 называют главным моментом системы сил относительно этого центра. Докажем теорему о приведении пространственной системы сил. Любую пространственную систему сил, в общем случае, можно привести к одной силе, приложенной в центре приведения и равной главному вектору данной системы сил, и к одной паре сил, момент которой равен главному моменту этих сил относительно центра приведения. Пусть дана произвольная пространственная система сил ( F 1, F,, F n ) (рис. 1.5,а). Приведѐм эту систему сил к центру О. Положения точек приложения сил определим радиусами-векторами ( r1, r,, rn ). Переносим все силы параллельно самим себе так, чтобы их точки приложения совпали с точкой O. При этом получим сходящуюся систему (рис. 1.5,б), которая приводится к одной равнодействующей силе, равной главному вектору 17

18 F0 F1 F F n F k. При параллельном переносе сил возникают ещѐ соответствующие пары ( F1, F 1), ( F, F ), ( F n, F n ) (см. рис. 1.5,в). Моменты этих пар равны моментам сил относительно центра O: M M ( F, F ) r F M ( F ) ; 18 n k O 1.. Mn M ( Fn, F n) rn Fn MО( Fn). Система пар приводится к одной паре, момент которой равен сумме моментов всех пар, а так как момент каждой пары равен моменту силы относительно точки приведения, то момент результирующей пары равен главному моменту (см. рис. 1.5,г) M M M M M ( F ) r F O 1 n O k k k k 1 k 1 n. Итак, доказано, что любую пространственную систему сил в общем случае можно привести к одной силе и к одной паре с моментом M F0 F k (1.11) O n n k 1 M k 1 O k n ( F ). (1.1) Параллельный перенос силы, применѐнный здесь, например силы F 1 (рис. 1.6), соответствует тому, что в точке приведения O прикладываются две уравновешенные силы, причѐм модули этих сил равны модулю F 1, а их линии действия параллельны ей. При этом получим систему сил ( F1, F1, F1 "), эквивалентную силе F1 и паре сил ( F 1, F " ). Установим условия равновесия пространственной системы сил. Если n 0 F k k 1 F 0, то сходящаяся система сил эквивалентна нулю, а если n M M ( F ) 0, O O k k 1

19 то система пар эквивалентна нулю. Таким образом, для равновесия пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил равнялись нулю, то есть F 0 0, M 0 O. (1.13) В проекциях на оси прямоугольной системы координат условия равновесия принимают вид: n F0 x Fkx F1 x F x Fnx 0; k 1 n F 0 y F ky F 1y F y F ny 0; k 1 n F0 z Fkz F1 z F z Fnz 0; k 1 n (1.14) M Ox M Ox( Fk ) 0; k 1 n M Oy M Oy ( Fk ) 0; k 1 n M Oz M Oz ( Fk ) 0. k 1 Частным случаем является плоская система сил. Пусть все силы расположены в плоскости xoy (рис. 1.7). Из трѐх первых уравнений равновесия (1.14) пространственной системы сил для плоской системы останутся уравнения n k 1 n k 1 F F F F 0; kx 1x x nx F F F F 0. ky 1y y ny (1.15) Третье уравнение (1.14) будет тождеством. Из трѐх последних уравнений остаѐтся только уравнение n MOz ( Fk ) M0z( F1 ) M0z( F ) M0z( Fn ) 0. (1.16) k 1 19

20 Следовательно, при рассмотрении плоской системы сил имеется возможность найти три неизвестных. Пример. На балку, изображѐнную на рис. 1.8, действует сосредоточенная сила F = кн, равномерно распределѐнная нагрузка интенсивностью q = 0,5 кн/м и пара сил с моментом М = 4 кн м. Угол 30, а = м, b =3 м, с = 5 м. Требуется определить реакции опор. Решение. Распределѐнную нагрузку заменяем равнодействующей Q q c, приложенной в середине отрезка DC. Освобождаем балку от связей, заменяя их действие реакциями RC, X A, YA. Составляем уравнения равновесия для плоской системы сил: n k 1 n F Fkx X A F cos30 0; k 1 ky Y A F sin 30 Q R C 0; n c M Az ( Fk ) M F a sin 30 Q( a b ) RC ( a b c) 0. k 1 Подставляем числовые значения в уравнения равновесия: XA Fcos30 3 кн; c F a sin30 Q( a b ) M R C 1,675 кн; a b c YA F sin30 Q RC 1,85 кн. Реакция X A получилась со знаком минус, это говорит о том, что 0

21 в действительности она направлена в противоположную сторону. 1

22 .1. Кинематика точки. КИНЕМАТИКА Основными кинематическими характеристиками движения точки являются ее положение, скорость и ускорение. Поэтому к задачам кинематики точки относятся определение способов задания движения и нахождение методов определения скорости и ускорения. Рассмотрим способы задания движения. Вначале определим, что значит задать движение. Движение точки по отношению к выбранной системе отсчета считается заданным, если известен способ, с помощью которого можно определить положение точки в любой момент времени. Векторный способ. Положение точки в пространстве задано, если ее радиус-вектор r, проводимый из некоторого заданного центра, известен как функция времени, то есть. При этом предполагается, что имеется возможность определить его модуль и направление в любой момент времени. Это можно сделать, если избрана какая-либо система координат, например прямоугольная декартова система координат, как это показано на рис..1. Для решения конкретных задач переходят от векторного способа к координатному или естественному способам задания движения. Координатный способ. Способ задания движения точки с помощью координат как известных функций времени называется координатным способом. Наиболее распространенной является прямоугольная декартова система координат. Движение точки задается с помощью координат x, y, z (рис..1) как известных функций времени, то есть x = x( t), у = у( t), z = z( t). (.1) Уравнения (.1) движения точки представляют собой и уравнение траектории точки, но только в параметрической форме, где роль параметра играет время t. Для определения уравнения траектории в координатной форме необходимо исключить время t. Траекторией точки называется непрерывная кривая, ко- 1

23 торую описывает точка при своем движении. Естественный (рис.) во времени, то есть способ. При естественном способе задания движения известны уравнения траектории и закон движения точки по траектории. Пусть точка M 0 - начало отсчета. Выбрав направление положительного отсчета дуги по траектории, определяем положение точки М в любой момент времени как функцию изменения дуги: s = ÈM o M s = s(t). (.) Зависимость (.) есть закон движения. Все рассмотренные способы задания движения взаимосвязаны..1.1.скорость точки Определим скорость точки, рассматривая векторный способ задания ее движения. Пусть в момент времени t положение точки определяется радиусом r (t), а в момент ( t+ Dt) - радиус-вектором r( t + Dt). Вектор D r = r( t + Dt) - r( t) есть вектор перемещения точки за время t (рис..3). Вводим понятие средней скорости, Dr Vср =. (.3) D t Скорость точки в данный момент времени есть предел отношения вектора перемещения D r к промежутку времени Dt, за который произошло это перемещение при D t, стремящемся к нулю, то есть D r V = lim, D t Dt o

24 d r а это есть производная. Таким образом, скорость точки равна производной радиус-вектора точки по времени, а именно dt dr V =, (.4) dt и направлена по касательной к траектории в сторону движения. Единицами измерения скорости являются м/c, км/ч. Определение скорости при координатном способе задания движения Пусть движение точки задано в декартовой системе координат, являющейся неподвижной (рис..4), то есть заданы координаты точки как функции времени: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Используя единичные векторы i, jk, осей x, y, z, определяем радиус-вектор: 3 r = xi + yj + zk (.5) и далее вектор скорости: dr dx dy dz V = = i + j + k, dt dt dt dt (.6) т. к. единичные векторы данной неподвижной системы координат постоянны. Вектор скорости V, как и любой вектор, можно также представить через его проекции, используя единичные векторы, то есть V = V i + V j V k. x y + Сравнивая два последних выражения, получаем, что проекции скорости V, V, V на координатные оси будут равны x y z dx dy dz V x =, V y =, V z =, (.7) dt dt dt то есть проекция скорости точки на координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей этой оси координаты. Производную по времени в теоретической механике обозначают точкой сверху, поэтому можно еще записать = x&, = y&, = z&. (.8) V x V y z V z

25 Вектор скорости определяется модулем ( x y z ) V = V + V + V = x& + y& + z& (.9) и направлением, которое задается направляющими косинусами: V V x y Vy cos( x, V ) =, cos( y, V ) =, cos( z, V ) =. (.10) V V V Определение скорости при естественном способе задания движения Пусть точка М движется по некоторой кривой (рис..5). За промежуток времени t точка перемещается из положения M 1 в положение M по дуге. Дуга обозначается как запишем его в другом виде: V = lim Dt o È M 1 M = Ds, а перемещение D r. Зная, что Dr V =, Dt D lim 0 t édr Dsù ê = ë Dt Dt ú û lim Dt 0 Dr Dt lim Dt 0 Ds. Dt Так как предел отношения дуги к стягивающей ее хорде равен по модулю единице, а предельное положение секущей M 1 M (приdt 0 ) совпадает с направлением касательной к кривой в точке M 1, то Dr dr lim = = t, Dt 0 Ds ds где t - единичный вектор касательной к кривой, направленный в сторону положительного отсчета дуги (рис..5). Рассматривая второй предел Ds lim = s, & Dt 0 Dt получаем ds V = t. (.11) dt Обозначив имеем V V ds = dt t, = V t t, (.1) 4

26 где V t - проекция скорости на касательную..1.. Ускорение точки Определение ускорения точки при векторном способе задания движения. Полагаем, что в момент времени t скорость равна V = V( ), а в момент времени t Dt V = V t + Dt 1 t + соответственно ( ) (рис..6). Изменение вектора скорости за промежуток времени Dt определяется как D V = V -V = V ( t + Dt) -V ( ). 1 t Среднее ускорение определяем как отношение а ср DV =. D t 5 D V к D t, то есть Ускорение точки в данный момент времени есть предел отношения приращения скорости DV к приращению времени D t при D t, стремящемся к нулю: DV dv a = lim =, Dt o Dt dt (.13) и так как dr V =, dt то v dv d r a = =. dt dt Следовательно, ускорение точки равно первой производной по времени вектора скорости точки или второй производной по времени радиуса-вектора точки. Единицей измерения ускорения является м/с. Определение ускорения при координатном способе задания движения. Пусть движение точки задано в прямоугольной системе координат: x = x(t), y = y (t), z = z (t). Ускорение точки определяется (.13) как dv dv dv x y dvz a = = i + j + k. dt dt dt dt

27 Вектор ускорения можно представить через его проекции a = a i + a j a k. x y + Сравнивая два последних выражения, имеем dv dv x y dvz ax =, ay =, az =, (.14) dt dt dt то есть проекция ускорения точки на какую-либо координатную ось равна первой производной от соответствующей проекции скорости. Выражение (.14), с учетом (.8), можно представить в виде = & x, = & y, = & z. (.15) a x a y Таким образом, проекция ускорения точки на какую-либо ось равна второй производной по времени от соответствующей координаты. Модуль ускорения определяется как x y z 6 z a z a = a + a + a = & x + && y + & z, (.16) а направление задается направляющими косинусами: a a x y az cos( x, a) =, cos( y, a) =, cos( z, a) =. (.17) a a a Формулы (.16), (.17) полностью определяют вектор ускорения. Определение ускорения при естественном способе задания движения. Прежде чем определить ускорение, введем некоторые понятия из дифференциальной геометрии. В каждой точке кривой можно указать три взаимно перпендикулярных направления касательная, нормаль и бинормаль. Принимая эти направления за координатные оси, введем единичные векторы этих осей - τ, nb., Единичный вектор касательной τ уже был введен. Единичный вектор нормали n направляем в сторону вогнутости кривой (рис..7). Единичный вектор бинормали b направлен таким образом, чтобы единичные вектора τ, nb, образовывали правую систему координат. Векторы τ, nb, являются единичными векторами осей естественного трехгранника. dv Согласно выражению (.13) ускорение точки a =, а ее ско- dt

28 рость V = τ, следовательно V t dvt а = t + Vt dt Примем без доказательства, что 7 dt. dt dt V Vt = n, dt r где r - радиус кривизны траектории в рассматриваемой точке. Отсюда имеем dvt V a = t + n. (.18) dt r Видно, что ускорение имеет две составляющие: dvt at = t dt и V a = r направленные по t и n (рис..8), первая из которых называется касательным ускорением, вторая - нормальным ускорением. Касательное ускорение характеризует изменение модуля скорости, а нормальное ускорение характеризует изменение скорости по направлению. Модуль ускорения равен æ dv æ ö t ö ç V a = a ç + t + an = è dt ø. (.19) è r ø Составляющие ускорения всегда взаимно перпендикулярны (рис..8). Касательное ускорение равно нулю при движении точки с постоянной по модулю скоростью. Нормальное ускорение равно нулю при прямолинейном движении точки Равнопеременное движение точки Если причём если 0 а t = const, то движение называется равнопеременным, a >, то движение равноускоренное, а если a < 0, то t движение равнозамедленное. Определим скорость при равноперемен- n, t

29 dvt ном движении, используя at =. Разделяем переменные и интегрируем в пределах (0, t), ( V 0, V ) dt : V ò dv V0 t = t ò atdt. Получаем выражение для скорости при равнопеременном движении: V = V 0 + att. (.0) ds Зная, что Vt =, находим уравнение равнопеременного движе- dt s 0,s, 0,t и выражение (.0): ния, разделяя переменные и используя пределы интегрирования ( ) ( ) 0 0 σ t òdσ= ò ( V0 + at τ ). (.1) σ 0 Пример. Движение точки задано уравнениями x= b sin ωt, y= c cosωt, (.) где b, c, w - постоянные величины. Определить уравнение траектории движения точки, ее скорость и ускорение. Решение. Находим уравнение траектории движения точки в координатной форме. Исключаем время t, для чего левые и правые части выражения (.) возводим в квадрат и складываем, откуда получаем 8 х y + = 1. c b Это есть уравнение эллипса с полуосями b и c (рис..9). Определяем проекции скорости на координатные оси: Vx = x& = bωcos wt; V = y& =-cωsinω, t находим модуль скорости y ( ) ( ) x y V = V + V = bω cos ωt+ cω sin ωt и направление V V x y cos( x, V ) =, cos ( y, V ) =. V V Рассматриваем момент времени, когда x = 0, y > 0. Если x = 0, то sin wt = 0, а это возможно при wt = 0 или ωt = p. Так как приняли, что

30 y > 0, то этому соответствует w t = 0, точка находится в положении M1 (см. рис..9). При wt = 0 проекции скорости и направляющие косинусы определятся как: V = 0, V x = bw, cos( xv, ) = 1,cos( yv, ) = 0. y Таким образом, модуль скорости равен b w, при этом вектор скорости направлен параллельно оси x в сторону её положительного отсчёта (см. рис..9). Определяем проекции ускорения на координатные оси: = & x = -bw sin wt ; a x a y = & y = -cw cos wt, и так как рассматривается момент времени, при котором wt = 0, то a = 0, a y = -cw. x Модуль ускорения a = cw, а вектор направлен по оси y в отрицательном направлении (см. рис..19). Ускорение в этот момент имеет только одну составляющую, а именно нормальную, касательная составляющая равна нулю... Основные движения твёрдого тела Основными движениями твёрдого тела являются поступательное движение и вращение тела вокруг неподвижной оси. Задачами кинематики твёрдого тела являются установление способа задания его движения, изучение кинематических характеристик, присущих телу в целом, и определение траекторий, скоростей и ускорений всех точек тела. Число независимых параметров, задание которых однозначно определяет положение тела в пространстве, называется числом степеней свободы тела. Свободное твёрдое тело имеет шесть степеней свободы...1. Поступательное движение твердого тела Поступательным движением называется такое движение твёрдого тела, при котором любая прямая, проведённая в теле, остаётся во всё время движения параллельной своему первоначальному положению. Возьмём на теле, движущемся поступательно, две произвольные точки А и В и векторным способом зададим их движение (см. рис..10). Из рисунка видно, что r r + r. (.3) B = A 9

31 Пусть за промежуток времени D t тело переместится в новое положение, при этом D r, Dr - векторы перемещений точек А и В. Т. к. 1 B 1 A B отрезки АВ и A равны и параллельны, то фигура ABB - параллелограмм, следовательно D ra = DrB, то есть при поступательном движении твёрдого тела перемещения всех его точек геометрически равны между собой. Здесь же можно утверждать, что траектории всех точек тела при наложении совпадают. Определяем скорость точек, для чего дифференцируем выражение (.3.) по времени drb dra dr = +, dt dt dt но так как вектор r постоянен по величине и направлению, то dr = 0 dt и тогда dr B dra =, или V B = VA, (.4) dt dt то есть при поступательном движении твёрдого тела скорости всех его точек в каждый момент времени равны между собой. Дифференцируя это соотношение по времени, получаем dv B dva dt = dt, или а В = а А, (.5) то есть ускорения всех точек тела в каждый момент времени равны между собой. Таким образом, при поступательном движении тела все 30 1 A 1

32 его точки движутся одинаково, так как их перемещения, скорости и ускорения геометрически равны. Поэтому поступательное движение полностью определяется движением одной произвольной точки. Если взять координатный способ задания движения точек, то уравнениями поступательного движения будут xa = xa(t), y A = y A (t), z A = z A (t), (.6) где A - произвольная точка тела. На рис..11 показано поступательное движение абсолютно твёрдого тела (стержня CD) в плоскости листа. Траекториями точек стержня взяты окружности, хотя могут быть и любые другие кривые.... Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной оси Вращательным движением тела вокруг оси будем называть такое движение, при котором некоторая прямая, принадлежащая тел, - ось вращения - остаётся неподвижной, а все точки тела движутся по окружностям с центрами в основаниях перпендикуляров, опущенных из этих точек на ось вращения (рис..1). На рисунке АВ - ось вращения, h 1,h - радиусы окружностей, по которым движутся произвольные точки тела C и D. Возможность такого движения обеспечивается опорами: А - подпятник, В - подшипник, подругому ещё можно назвать А - радиально-упорный подшипник, В - радиальный подшипник. Тело при этом движении имеет одну степень свободы. Следовательно, для задания его движения необходимо иметь один независимый параметр, в качестве которого выбирают угол поворота j. Покажем это на рис..13. Пусть Ax 1y1z1 неподвижная система координат, ось Az 1 направлена по оси вращения тела. Жестко с телом свяжем систему координат Axyz. В начальный момент времени эти системы совпадают, а через некоторый промежуток времени они отклоняются и их взаимное положение определяется углом, являющимся функцией времени, j = j(t). (.7) Для того чтобы угол поворота однозначно определял положение 31

33 тела, необходимо условиться относительно положительного направления отсчёта этого угла. Угол j - положительный, если вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки, если смотреть с конца оси Az 1. Зависимость (.7) есть уравнение вращательного движения тела вокруг неподвижной оси. Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твёрдого тела являются угловая скорость и угловое ускорение, определим их. Предположим, что за промежуток времени D t угол j поворота получил приращение Dj. Тогда средняя угловая скорость определяется равенством Dj ( w z) ср =. D t Угловую скорость в данный момент времени можно определить посредством предельного перехода Dj dj w z = lim = = j& Dt 0 Dt dt. (.8) Угловая скорость равна первой производной от угла поворота по времени. Единицей измерения угловой скорости является рад/с. Так как угол поворота j является алгебраической величиной, то и угловая скорость w также является алгебраической величиной, модуль которой z ω d j =. dt В технике при вращении тела используется число оборотов в минуту. Зависимость между угловой скоростью w и числом оборотов в минуту n определяется как pn pn w = = [рад/с] Предполагаем, что за промежуток времени D t угловая скорость получила приращение D wz. Тогда среднее угловое ускорение определяется как 3

34 Dwz ( e z ) р =. Dt Угловое ускорение в данный момент времени определяется как предел Dwz dwz d j e z = lim = = = j&&, (.9) Dt 0 Dt dt dt dj так как wz =. dt Угловое ускорение равно производной по времени от угловой скорости или второй производной по времени от угла поворота. Угловое ускорение характеризует изменение угловой скорости с течением времени. Единица измерения углового ускорения - рад/с. Здесь определили угловую скорость ω z и угловое ускорение e z как скалярные величины. В дальнейшем введём их как векторные величины...3. Равнопеременное вращение твёрдого тела z = Если угловая скорость постоянна, то вращение тела - равномерное. Здесь рассмотрим случай, когда постоянным является угловое ускорение, то есть ε const. Такое вращение называется равнопеременным, причём если > 0, вращение равноускоренное, а если e z e z < 0 равнозамедленное. Исходя из формулы (.9), определяем dw z = e z dt. Интегрируем левую и правую части, взяв начальные условия: время изменяется от нуля до t, а угловая скорость от w 0 до w: w ò wz w0 t = ò e В результате чего имеем w = w0 + e z t (.30) закон изменения угловой скорости при равнопеременном вращении. Используя формулу (.8), аналогичным образом находим закон изменения угла во времени: где j0 0 z dt. e j = j0 + w0t + zt, (.31) - начальное значение угла. 33

35 ..4. Векторы угловой скорости и углового ускорения Для изучения кинематики твёрдого тела полезным является введение векторов угловой скорости и углового ускорения. Вектором угловой скорости w твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, называется вектор, модуль w которого равен абсолютному значению производной угла поворота тела по времени, направленный по оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела видно происходящим против хода часовой стрелки (рис..14) Используя единичный вектор k, запишем вектор угловой скорости dj w = k = w z k. (.3) dt Вектором углового ускорения является вектор, равный производной по времени от вектора угловой скорости, то есть dw dwzk e = = = e z k. (.33) dt dt Отсюда видно, что вектор углового ускорения e направлен, как и вектор w, вдоль оси вращения (рис..15,а и рис..15,б). На рис..15,а показано ускоренное вращение, а на рис..15,б - замедленное. 34

36 ..5. Определение скорости и ускорения любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси Рассматриваем вращение тела вокруг неподвижной оси z 1 (рис..16). Берём неподвижную точку тела М, траекторией движения которой является окружность радиуса r с центром О на оси вращения z 1. Для наглядности показано отдельно сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси z 1 и проходящей через точку М, где j - угол поворота тела, s = ÈМ 0 М - дуга окружности, по которой рассматриваемая точка переместилась из начального положения М 0 в положение М (рис..17). Докажем, что скорость любой точки тела, вращающегося вокруг неподвижной оси определяется как векторное произведение: V = ω r. (.34) Если векторное произведение w r имеет направление такое же, как и вектор скорости точки, а его модуль равен модулю вектора скорости, то выражение (.34) справедливо. Известно, что векторное произведение - это вектор, направленный перпендикулярно плоскости, проходящей через векторы-сомножители, в нашем случае плоскости, содержащей векторы w и r, в ту сторону, откуда вращение по кратчайшему расстоянию первого вектора ко второму видно происходящим против хода часовой стрелки. Таким образом, рассматриваемый вектор направлен по касательной к траектории движения точки в сторону движения, то есть совпадает по направлению с вектором скорости. Остаётся доказать, что их модули равны. Модуль ω r = ωr sinα = ωρ. (.35) Скорость точки (.34) определяется как производная по времени 35

37 ds Vt =, dt где s - дуга. Как видно из рис..17, дуга окружности s = rj, тогда d j V t = r = rw z dt и модуль скорости V = wr, что совпадает с модулем векторного произведения (.35). Таким образом, соотношение (.34) доказано. Для наглядности от пространственного изображения перейдём к плоскому (рис..18), то есть рассмотрим сечение (диск) тела плоскостью, перпендикулярной к оси вращения и содержащей точку М. Определим скорости точек М, А, В, С: V M = w OM ; V А = w OА ; V В = w OВ ; V С = w OС. Как видно, модуль скорости любой точки тела равен произведению модуля угловой скорости на расстояние от точки до оси вращения, то есть пропорционален радиусу окружности, по которой движется точка. Направлен вектор скорости по касательной к этой окружности в сторону движения, то есть перпендикулярно к радиусу. Для определения ускорения точки М возьмём производную скорости по времени dv d dω dr a = = (ω r) = r + ω, dt dt dt dt d w dr здесь = e - угловое ускорение, = V = ω r - скорость точки М. dt dt С учётом этого a = ε r + ω V. (.36) Из (.36) видно, что ускорение точки состоит из двух составляющих, первая - вращательное ускорение a = ε r, вторая - вр осестреми- 36

38 ос тельное ускорение a = ω V. При вращении твёрдого тела вокруг неподвижной оси их можно называть касательным и нормальным ускорениями соответственно. вр Вращательное ускорение a направлено по касательной, и его модуль равен вр ос a = ε rsinα= ε ρ. Осестремительное ускорение a направлено от точки к оси вращения, то есть по нормали к траектории, модуль определяется как ос a = ωrsin90 o = ωρ. Таким образом, вр ос а = а + а, (.37) а модуль полного ускорения точки М будет a a a так как составляющие ускорения перпендикулярны друг другу. вр ос 4 = ( ) + ( ) = ρ ε + ω, (.38) Пример. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 определить скорость, а также вращательное, осестремительное и полное ускорения точки М в указанный момент времени (рис..19). Дано: x = 50t (см), r =0 см, R =40 см, r 3 =15 см, R 3=40 см, t = 0,5 с. Решение. Определяем скорость первого тела: dx V1 = = 100t ; dt при t = 0,5 c, V 1 = 50 см/с 37

39 его ускорение 1 = d x a = 100 cм/с dt и не зависит от t. Рассматриваем точку В, точку соприкосновения нити с колесом. Скорость точки В, V = V1 = 50 см/с, вращательное ускорение точки В B равно а вр B = a1 = 100 cм/с, т. к. нить нерастяжимая. Отсюда находим угловую скорость барабана : и его угловое ускорение w = e = Зная угловую скорость w и угловое ускорение e, определяем скорость точки С: V1 V C = wr = R r и ее вращательное ускорение вр вр ab ac = εr = R. r Так как нить нерастяжимая, то аналогичные значения имеет скорость точки D и её вращательное ускорение V V 1 D = R ; r a вр D V B r вр a B r вр aс. =. Имея эти значения, находим угловую скорость w 3 колеса 3 и угловое ускорение e 3 : ω = VD R 3 V1 r = rr ; Скорость точки М равна ε 3 3 вр ad R 3 a1 r3 rr 3 = =. V M = w = R 3 3R3 V1 rr3 и направлена перпендикулярно к радиусу O M 3 в сторону вращения 38 R

40 колеса 3. Вращательное ускорение точки М вр RR 3 am= εr = a rr V M и направлено по вектору скорости, так как рассматриваемое вращение колёс ускоренное. Осестремительное ускорение точки М ос R am= ω3r3 = R3 V 1 rr 3 и направленно по радиусу O 3 M к центру колеса O 3. Полное ускорение ос вр am = ( am) + ( am). Для указанного момента времени: VM = 50 = 67 см/с; 0 15 вр a M = 100 = 533 см/с ; 0 15 ос 40 a M = = см/с ; 0 15 a = (533) + (17697) = см/с. M.3. Плоское движение твёрдого тела.3.1. Задание движения Движение твёрдого тела называется плоским. или плоскопараллельным, если все точки тела перемещаются в плоскости, параллельной некоторой неподвижной плоскости. Наглядным примером плоского движения твёрдого тела является качение круглого диска по неподвижной поверхности в вертикальной плоскости (рис..0). Траектории всех точек диска А, В, С, D, О располагаются в одной плоскости O 1x1 y1. Представим, что вместо диска по плоскости x 1O1 z1 катится цилиндр (см. рис..1) так, что его основания во всё время движения параллельны вертикальной плоскости x 1O1 y1. Траектории движения всех то- 39

41 чек цилиндра будут находиться в плоскостях, параллельных плоскости x 1O1 y1. Это позволяет сделать вывод, что вместо рассмотрения плоского движения всего тела, в приведённом примере - цилиндра, можно перейти к рассмотрению плоской фигуры круглого диска. Тело при таком движении имеет три степени свободы, следовательно, для задания его движения необходимо иметь три независимых параметра. Такими параметрами могут быть координаты полюса (точки А) и угол j поворота фигуры вокруг полюса (рис..): x = x ( t); 40 1A 1A y = y ( t); 1A 1A j=j() t Здесь системы координат: O1 x1 y1 - неподвижная и Ax y (.39) - движущаяся поступательно, Axyz жестко связанная с телом, соответственно. Зависимости (.39) являются уравнениями плоского движения тела, которые позволяют плоское движение рассматривать как совокупность двух движений, а именно поступательного движения вместе с полюсом А и вращательного движения вокруг полюса А. Покажем это на рис..3. Пусть в начальный момент времени тело занимает положение I, а затем через некоторое время перемещается в положение II. Берём две точки (A и B) и соединяем их прямой. От положения прямой AB в начальный момент времени к положению A"B" в рассматриваемый момент времени можно перейти следующим образом: вначале тело и, соответственно, прямую АВ нужно переместить поступательно, совместив точки А и A ", а затем повернуть тело на угол j вокруг A

42 точки A " до совпадения точек B и B ". Таким образом, плоское движение тела мы представим как совокупность поступательного движения и вращательного движения, причём вращательное движение не зависит от выбора полюса. Можно было бы при поступательном движении совместить точки B и B " и повернуть вокруг точки B " на угол j, который, как видно, равен углу j..3.. Скорости точек тела при плоском движении B В том случае, когда заданы уравнения плоского движения (.39), скорость произвольной точки B можно определить, используя координатный способ задания движения, а именно вначале найти координаты точки В (см. рис..3): x1b() t = x1a() t + xb cos j() t - ybsin j(); t (.40) y () t = y () t + x sin j () t + y cos j(), t 1B 1A B B где x B, y B - координаты точки В в системе координат, жёстко связанной с телом, они известны и являются постоянными величинами. Продифференцировав по времени x 1 B, y 1 B, находим проекции скорости точки на координатные оси: x& 1B = x& 1A -( xbsinj+ yb cos jj )&; (.41) y& 1B = y& 1A -( xb cosj-ybsin jj )&. Первые слагаемые в выражениях (.41) x B, y B есть проекции скорости точки A на неподвижные координатные оси. Последние слагаемые являются проекциями скорости точки В при вращении фигуры вокруг полюса А с угловой скоростью &j, т. к. при вращении фигуры вокруг полюса А скорость точки В по модулю равна A V BA = j& AB и направлена перпендикулярно к АВ в сторону вращения (рис..4). Проекции этой скорости на оси x, y x 1, y ределяются следующим образом: 41

43 V BA x = V BA sin b = j& AB sin b ; V BA у = V BA cos b = j& AB cos b, при этом AB sin b = x B sin j + y B cos j ; AB cos b = x B cos j - y B sin j. Это доказывает утверждение о том, что вторые слагаемые в выражении (3.3) есть проекции скорости V BA на оси x 1, y 1. Следовательно, вектор скорости любой точки В плоской фигуры равен геометрической сумме скорости полюса А и скорости точки B при вращении плоской фигуры вокруг полюса А. V = V + ω АВ. (.4) B A Второе слагаемое ω AB обозначает V BA, тогда VB = VA + VBA. (.43) Вектор скорости V BA перпендикулярен к AB и направлен в сторону вращения, а по модулю равен V BA = w AB, то есть пропорционален расстоянию от точки В до полюса А. Изобразим на рис..5 указанные векторы скоростей при разных направлениях вращения фигуры Теорема о проекциях скоростей двух точек тела При плоском движении проекции скоростей двух точек тела на ось, проходящую через эти точки, равны между собой. Докажем это. Скорость точки V B = VA + VBA. Выбираем положительное направление для оси АВ, как показано на рис..6. Проецируем это векторное равенство на ось АВ: 4

Zobrazit více



Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение

Как сделать угловое соединение